Définition de la proportionnalité: 

Le terme de proportionnalité recouvre plusieurs aspects :

•Relation entre des grandeurs (situations de proportionnalité)

•Relation entre des nombres (suites proportionnelles)

•Raisonnement proportionnel (raisonnements mis en œuvre dans le traitement de problèmes relatifs aux situations de proportionnalité.

Exemple des fonctions linéaires de type f(x)= ax ).

Les pourcentages, les échelles, l’agrandissement et la réduction de figures, l’homothétie,… sont des notions qui peuvent être interprétées

dans le cadre de la proportionnalité. »

Ermel, Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM1, février 1998

Classification des situations de proportionnalité

1. Porblèmes de proportionnalité simples et directes

a) Problèmes de quatrième proportionnelle

Ce sont des problèmes où trois nombres sont connus ; il faut trouver le quatrième.

Exemple : Quatre dictionnaires identiques pèsent 10 kg. Combien pèsent 14 dictionnaires ?

b) Problèmes à questions successives

Ce sont des problèmes du même type que les précédents, dans lesquels il faut chercher plusieurs « quatrièmes proportionnelles » ; les 

résultats sont dépendants les uns des autres.

Exemple : Sachant que 100 grammes de fromage coûtent 8 euros, quel sera le prix pour 200g, 450g, 75g, 375g… ?

c) Problèmes de comparaison

Ce sont des problèmes qui nécessitent la mise en relation de deux parties composant un tout.

Exemple : Dans une classe de 20 élèves, 12 élèves aiment le football. Dans une autre de 30 élèves, 15 déclarent aimer le football. Y a-til une classe dans laquelle on aime plus le football que dans l’autre ?

2. Problèmes de proportionnalité simple composée

Il s’agit de problèmes faisant intervenir la composition de deux ou plusieurs relations de proportionnalité simple.

Exemple : Avec 100 kg de blé, on fait 75 kg de farine et avec 25 kg de farine, on fait 30 kg de pain.

Quelle est la masse de blé nécessaire pour faire 450 kg de pain ?

La difficulté de ce type de problèmes réside dans l’organisation des données à mettre en relation , d’une part, dans le choix et la

combinaison des résultats intermédiaires d’autre part. 

3. Problèmes de proportionnalité multiple

Ce sont des problèmes dans lesquels une grandeur est simultanément proportionnelle à plusieurs grandeurs.

Exemple : Un employé travaille depuis 12 ans dans la même entreprise. 

Il reste au bureau 7 heures par jour.

Il travaille 5 jours par semaine et gagne 25 euros de l ’heure.

Combien auront gagné cinq employés pour une période de sept ans de travail à temps plein ?

La résolution de ces problèmes nécessite des raisonnements plus complexes qui impliquent la mobilisation des raisonnements utilisés

dans des situations de proportionnalité simple. Ils ne sont pas à aborder à l’école primaire.

4. Problèmes de type « Produits de mesures »

L’unité de mesure de l’une des grandeurs est le produit des unités de mesure des deux autres grandeurs.

Il s’agit d’une proportion double.

Exemple : Quelle est l’aire d’un rectangle de 5 cm de longueursur 3 cm de largeur ?

L’aire de ce rectangle est proportionnelle à sa longueur (si la largeur est fixée) et à sa largeur (si la longueur est fixée).

 

Pistes pédagogiques 

http://netia59a.ac-lille.fr/~circonswasquehal/IMG/pdf/La_proportionnalite_au_cycle_3_Exemples_de_seances.pdf

Sujets possibles: 

- utiliser un tableau ou la règle de trois dans des situations très simples de proportionnalité 

- résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notammeny des problèmes relatifs aux pourcentages, en utilisant des procédures variées 

-n'oubliez pas les notions d'agrandissements/réduction, échelles et vitesses. 

 

La construction du concept de nombre chez l’enfant

1- La définition du concept de nombre

- Différence entre nombre et nombre de : un nombre ne représente pas une quantité, il ne la désigne pas, il ne l’exprime pas.  

- Il aide à quantifier. 

- Un nombre est une idée qui permet de se représenter ou d’imaginer une quantité. 

- Un nombre est un élément qui appartient à un ou plusieurs ensembles suivants :  

N : entiers naturels (0 à + infini entiers) 

Z : entiers relatifs  (-infini à + infini entiers),  

Q : entiers rationnels (fractions de –infini à + infini : ex ½) 

D : décimaux (Tous les nombres dont la partie fractionnelle est finie, de – infini à + infini ex : 3,537) 

R : réels (Tous les nombres de –infini à + infini : ex π) 

- Un nombre peut s’écrire avec des chiffres, des mots, une lettre, un symbole (π) 

- Différence entre chiffre, numéro et nombre (le langage courant est souvent source d’erreurs) 

Le nombre entier naturel peut être envisagé sous son aspect cardinal, comme la propriété commune à toutes les collections concrètes d’objets qui 

contiendraient le même nombre d’objets. 

L’ensemble de tous les cardinaux est ordonnée. C’est l’aspect ordinal. 

2- La théorie piagétienne sur la construction du nombre (conservation)

Selon Piaget (1896-1980), le nombre ne devient une notion opératoire que lorsque l’enfant est capable de percevoir la conservation de l’extension d’une 

collection, la sériation des longueurs, et l’inclusion des classes. 

Le nombre serait donc construit par l’enfant grâce à 3 capacités logiques (sériation, classification, conservation), acquises progressivement pour arriver à 

maîtriser le concept de nombre. 

L’opération de sériation consiste à ordonner une série d’objets en fonction de leurs différences (taille, poids, …). La sériation apparaît dans l’acquisition de 

la suite ordonnée des naturels : 5 est plus grand que 4, qui lui-même est plus grand que 3 …

La catégorisation est une activité cognitive conduisant l’individu à traiter de la même façon des objets différents, et donc à dépasser les spécificités au 

profit de la généralité : c’est dégager des caractéristiques communes envers des objets, des personnes ou des situations. 

Catégoriser consiste à considérer de manière équivalente des objets, des personnes ou des situations qui partagent des caractéristiques communes. 

- C’est subdiviser des connaissances en catégories et savoir expliquer comment s’organisent ces catégories. 

- C’est un processus de base intervenant dans la plupart des comportements humains. 

La question de la conservation se pose devant deux collections composées du même nombre d’objets mais disposés différemment. L’enfant non 

conservant répondra qu’il y a plus de jetons là où c’est le plus long, alors que l’enfant conservant dira qu’il y en a le même nombre. 

A 4 ans, l’enfant a une intuition perceptive (longueur = nombre). Ce n’est que vers 6-7 ans qu’il parvient à ne plus être « prisonnier » du cadre visuospatial, et devient conservant. 

3- Les apports post-piagétiens

• D’autres recherches ont montré qu’il était dommageable de ne pas avoir considéré l’activité de comptage chez l’enfant. 

En effet, les activités de comptage occupent une place importante dans les activités des jeunes enfants et dans leur première appréhension des nombres. 

• Des auteurs ont montré que la pratique du dénombrement précède l’accès à la conservation. Ils ont comparé l’effet de l’apprentissage du 

comptage, du dénombrement et de la logique. 

Il s’avère que les enfants entraînés à compter et dénombrer des petites collections ont de meilleures performances à des tâches numériques, alors que leurs 

scores sont comparables aux autres élèves pour des tâches logiques. 

Apprendre à dénombrer aide l’enfant à développer les capacités opératoires qui sous tendent le concept de nombre. 

Il y a complémentarité. Ainsi, la construction du nombre semble reposer à la fois sur les notions logiques développées par Piaget (sériation, 

classification, conservation) et sur des procédures de dénombrement et de comptage. 

• Aujourd’hui, les recherches faites sur ce que sait faire le bébé avant de savoir parler montrent qu’il est sensible au fait : 

- qu’une collection de 2 objets n’est pas une collection d’un seul objet mais de plus, 

- que le retrait d’un objet à une collection de 2 objets ne laisse pas invariante la collection de 2 objets. Il est donc sensible à une différence.

Vers 4 ans ½, les enfants sont capables de dire le nombre d’objets d’une collection de 1 à 3 objets, sans les compter. 

Si l’enseignant lui fait ensuite compter les objets, l’élève constate que le mot-nombre obtenu par perception globale est aussi celui qui termine le comptage. 

• Selon R. Charnay, l’acquisition de la chaîne numérique verbale (1 ;2 ;3 ;…) et son usage dans les processus de quantification (combien ?) est 

déterminante. 

Ces habiletés verbales constituent les éléments à partir desquels s’édifient les acquisitions ultérieures. 

IV- La construction du nombre à l’école primaire et le calcul

1- Les obstacles repérés chez les élèves de cycle 2 pour l’acquisition du nombre et du calcul

•  Oralité du nombre 

•  Mauvaise utilisation des mots dans le langage courant 

•  Méconnaissance de la suite numérique 

•  Pas de correspondance entre le mot-nombre et la quantité 

•  Pas de notion de grandeur, de valeur approchée 

•  Différentes écritures du nombre 

•  Difficulté à écrire les nombres en chiffres: numération de position 

•  Difficulté à manipuler le nombre: décomposer, recomposer de différentes façons 

•  Pas d’automatismes en calcul mental 

•  Difficulté à positionner les chiffres du nombre dans une opération 

•  Difficulté à poser et effectuer une opération 

•  Pas de connaissance du sens de l’opération 

• Difficulté à réaliser des problèmes à étapes

       I/ Différents moyens de calculer travaillés à l’école primaire. 

Le calcul mental: automatisé ou réfléchi, il occupe une place principale 

• Parler de calcul mental ne signifie pas que tout se passe sans écriture. 

•Les techniques écrites doivent s’appuyer sur une pratique bien installée du calcul mental. 

•  Il opère sur les nombres, permet d’enraciner l’ordre de grandeur, le sens des opérations, les propriétés (commutativité, associativité, distributivité) 

Le calcul posé:  

•  Une maîtrise des techniques permet d’apprécier l’efficacité des instruments utilisés (calculatrices). 

L’appropriation de ces techniques opératoires conduit à utiliser de nombreuses propriétés relatives au système d’écriture des nombres (numération décimale 

de position) et aux opérations en jeu. 

a) Le calcul mental permet de: 

•  Construire et renforcer les 1 ères connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels (relations additives ou multiplicatives entre les nombres) 

•  Utiliser les propriétés des opérations 

•  Elaborer des procédures (calcul réfléchi) 

•  Aider à la résolution de problèmes 

b) 2 aspects à travailler en calcul mental 

•  Calcul automatisé: production de résultats immédiatement disponibles: récupération en mémoire, reconstruction instantanée 

•  Calcul réfléchi: diversification des stratégies de calcul complexe: élaboration d’une procédure adaptée au calcul proposé. Les stratégies et le raisonnement sont sollicitées.

c) Calcul réfléchi 

Il s’agit d’élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé. 

Ex de procédures: 

36+9

P1:36+10-1 

36+12

P1:36+10+2 

P2:36+4+8 

Calcul automatisé au cycle 2: addition et soustraction

•  Ajouter ou retrancher 1, en particulier pour les nombres inférieurs à 20 

•  Ajouter ou retrancher 2 et 5, en particulier pour les nombres inférieurs à 20. 

•  Ajouter ou retrancher 10, 100 

•  Connaître les compléments à 10 ou à 20, puis à la dizaine supérieure 

Activités possibles : Cartes recto-verso, dominos « compléments à 10, à 20 », cartes de 2 couleurs, tableau des nombres, bon débarras 

•  Décomposer un nombre inférieur à 10 à l’aide du nombre 5 

Décomposer un nombre compris entre 10 et 20 à l’aide du nombre 10 

•  Additionner deux nombres dont la somme est inférieure à 10 et décomposer un nombre inférieur à 10 sous forme additive. 

Activités possibles: Tableau des nombres 

•  Maîtriser le répertoire additif (tables d’addition): somme de deux nombres inférieurs à 10, compléments, différences et décompositions associées. 

•  Calculer des sommes, des différences ou des compléments du type: 20+7, 27-7, 20 pour aller à 27, puis 200+37, 237-37, 200 pour aller à 237 

•  Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines ou des centaines, calculer les compléments correspondant. 

•  Développer des stratégies perceptives 

Activité possible: Combien ? 

Calcul réfléchi au cycle 2: addition et soustraction

•  Ajouter et retrancher un nombre à 1 chiffre à un nombre inférieur à 100, puis inférieur à 1000 

•  Ajouter ou retrancher un nombre entier de dizaines ou de centaines

Ajouter ou retrancher deux nombres 

•  Calculer des écarts ou des compléments (Nb de 2 ou 3 chiffres) 

•  Rapprocher des nombres entre eux: 26+7+4+13 

•  Adapter les stratégies: 

52-3=52-2-1 

52-49=49 pour aller à 52 

Calcul automatisé au cycle 2: multiplication et division

Connaitre les doubles des nombres < 10, et les moitiés correspondantes 

•  Connaître les doubles des nombres clés: 10,20,20,40,50, 100,200,300,400,15, 25 

•  Connaitre les tables de multiplication: 2, 5, puis 3 et 4 

Multiplier par 10 et par 100 (découverte préalable par la manipulation, par l’addition, par l’écriture chiffrée et l’opération) 

Calcul réfléchi au cycle 2: multiplication et division

•  Calculer les doubles de nombres<50 

•  Calculer les moitiés de nombres <100, Nb pairs 

•  Calculer le produit de 2 nombres inférieurs à 10, en s’appuyant sur des résultats connus, en utilisant l’addition itérée 

Utiliser un produit connu pour calculer un produit voisin 

Obstacle: Difficulté à poser et effectuer une opération 

Calcul posé: 

•  Permet de mieux apprécier l’efficacité des instruments 

•  Conduit à utiliser et combiner les propriétés relatives au système d’écriture des nombres et aux opérations en jeu 

•  Importance d’entrainer les élèves à utiliser des moyens de contrôle des résultats obtenus: ordre de grandeur, contrôle du chiffre des unités, 

vérification par l’addition pour la soustraction, a=bq+r pour la division (Cycle3). 

•  Poser d’abord des opérations dont on connait le résultat en ligne 

Addition: 

•  Repose sur le principe de la numération décimale 

•  Travailler 

Les tables d’addition 

o Les retenues (compréhension du principe de groupement par 10, ) Matériel: cubes 

o L’alignement des chiffres de même valeur 

•  Utiliser le calcul posé en colonnes pour les Nb > 2 chiffres, sinon additionner en ligne 

Principe: Ne pas séparer l’étude des cas avec et sans retenue 

*Adaptation pour les différents niveaux des élèves 

Soustraction posée: 

•  Soustraction d’abord travaillée dans le cadre de la résolution de problèmes et du calcul mental. 

•  Difficulté de l’opération posée: l’erreur est de soustraire pour chaque chiffre le plus petit du plus grand. 

•  3 techniques (Cf. doc d’accompagnement p. 52) 

o Basée sur les échanges dizaine/unités (+ facile) Matériel: cubes 

o Basée sur la recherche de compléments 

o Basée sur l’ajout d’un même nombre aux 2 termes de la soustraction 

Principe: Ne pas séparer l’étude des cas avec et sans retenue 

*Adaptation au niveau des élèves 

Multiplication posée: 

•  Erreurs: mauvaise connaissance des tables de multiplication (lien calcul mental) 

•  Connaître: 

o Les tables de multiplication 

o La numération décimale pour la gestion des retenue 

o (La « règle » des 0 pour la multiplication des dizaines, centaines, …) Cycle 3 

o Distributivité de la multiplication sur l’addition 

•  Au cycle 2, multiplication par un nombre à un chiffre. Repose sur la commutativité et la distributivité 

un document qui fait une petite synthèse de tout cela: 

http://www.dsden93.ac-creteil.fr/spip/IMG/pdf/Le_calcul_mental_4_pages_derniereversion.pdf

puis: 

      II/ Voici la classification des structures additives selon G. Vergnaud pour l'addition et la soustraction

 

Quelques éléments à connaitre sur les fractions

les fractions peuvent etre classées selon 3 problèmes

	Avantages de ces problèmes	Inconvénients de ces problèmes
Problèmes de partage	Ne sont pas inconnus des élèves Permettent la manipulation et ont un caractère concret	Définissent des fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur. Les élèves risquent de penser qu’une fraction est toujours ainsi.
Problèmes de mesure	Ne sont pas inconnus des élèves  car traités dans les classes précédentes pour introduire la notion de longueur. Permettent d’introduire des fractions définissant des nbrs supérieurs à 1 et viennent en complément aux problèmes de partage.
Problèmes de repérage sur une droite	Permettent de renforcer la connaissance des fractions en tant que nombres Permettent de visualiser ces nouveaux nombres  sur la droite graduée Permettent de voir qu’entre deux entiers consécutifs il existe d’autres nombres.

 Progression concernant les fractions

1. travailler sur les fractions simples. Au cm1 ce n'est qu'une approche des fractions. Elle permettra d'aider les élèves à comprendre les nombres décimaux. Introduction qui peut se faire par un travail sur les grandeurs ( longueur et aire)

2. Travail sur les fractions décimales. Au CM1 le travail sur les fractions simples permet d'entreprendre celui sur les fractions décimales ( fractionnement de l'unité se fait en 10 parties égales -> on obtient des dixièmes) puis ainsi de suite car le fractionnement en dixièmes ne suffit pas. 

On utilise des activités de mesurage, de construction et de repérage, on oblie pas d'étendre le tableau de numération " vers la droite" qui permet de donner du sens au mot décimale et à l'écriture de ces "nouveaux nombres"

3. travail sur les nombres décimaux "les écritures à virgule". On apprend à décomposer ces nombres décimaux en utilisant les puissances de 10, on travaille sur les activités de comparaison et de rangement et on utilise la droite graduée qui facilitera l'encadrement d'un nombre décimal par deux entiers consécutifs

   POUR LES FRACTIONS

Je vous mets des conseils concernant les fractions que j'ai trouvé sur le site de primaths. 

voici le lien : http://primaths.fr/futurs%20maitres%20oral/competences%20c3/cm1utilisercesfr.html

la compétence travaillée est: Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. 

 

Autre compétence à travailler au CM1: Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire: demi,tiers, quart, dixième, centième.

issue du site: http://primaths.fr/futurs%20maitres%20oral/competences%20c3/cm1nommerdesfrac.html

 

  POUR LES NOMBRES DECIMAUX 

compétence: Placer des nombres décimaux sur une droite graduée (CM1)

site: http://primaths.fr/futurs%20maitres%20oral/competences%20c3/cm1decimauxetdro.html

 

compétence: Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement (CM1)

site: http://primaths.fr/futurs%20maitres%20oral/competences%20c3/cm1decimauxetdro.html

Je m'aiderai principalement du hatier et de l'admis pour constituer mes fiches. Il n'est cependant pas improbable que j'aille voir le hachette. 

Je compléterai également mes fiches avec mes cours d'iufm également :)